メソリンガムモデル式及びその変形

１．視聴回数分布と重複視聴率の関係

・Ｎ時点からとり出した任意の k時点の重複視聴率の合計を Qk とする。
・丁度 i回視聴した人の割合を f(i)とする。

公式(1)　

〈証明〉
i≧kの時 f(i)に数えられている視聴者は、i個の中からk個とった任意の組合わせの視聴者であるから、Qk の中にiQk回、数えられている。 i＜kである時は f(i)に数えられている視聴者は存在しない。従ってi=k, k+1, …,Nの全てについて、iQk f(i)を合計すれば過不足なくQk に一致する。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Q.E.D.

２．到達率算出の一般公式

・　とおく。R(i)は i回以上視聴の到達率である。

公式(2)　

〈証明〉


公式(3)　

〈証明〉
公式(1)に公式(2)を代入すると

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Q.E.D.

Q(k)からf(k)を求める方法

　としておく。

θについての次のＮ次多項式をつくる。


和の順序を変更すると


故に　

両辺をθについてk回微分すれば

ここでθ=-1を代入すれば



(付録)　
が全てのkについて成立するw(p)が存在する場合



〈証明〉



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Q.E.D.

　Q(k)からR(k)を求める方法
　　(1)
θについての多項式g(θ)を次式で定義する。
　　(2)
(2)に(1)を代入して変形する。


和の順序を変更すると
　　　

故に


両辺をQについて(k-1)回微分する


ここでθ=-1を代入すれば
(4)'　　

公式(5)　Ｎ時点から取った任意のk時点のあらゆる組合わせについての重複視聴率の平均をP(k)とする時

〈証明〉
　 　　であるから　　
これを公式(4)へ代入すれば上式が得られる。