メソリンガムモデル及び負の二項分布モデルにおけるパラメーターの条件及 び平均視聴率、平均重複視聴率の間の制約

１．メソリンガムモデルの場合

　モデルのベースとなっているβ分布のパラメーターl, mについてl>0, m>0という条件が課されている。（これはβ関数B(l ,m)の収束条件に他ならない。）フリークエンシーディストリビューションf(k)を求める時の積分はlがl+kになり、mがになるだけであるから収束の条件は常に満たされている。
　以上によってパラメーターl, mに課せられる条件は
　　　　　　　(1)

　　　　(2)

の二式で表わされる。これに加えて、は平均視聴率であるから常に 　　　　　　　　　　　(3)

をみたしていることを考慮すれば、(1),(2)より
　　　　　　　　　　(4)

が導かれることは明らかである。

２．負の二項分布モデルの場合

　モデルのベースとなっているΓ分布のパラメーターα,βについて　 α>0, β>0という条件が課されている。
　フリークエンシーディストリビューションを求める時の積分はαがα +kになり、βがβ+1に変わるだけであるから収束の条件は満たされて いる。
　従ってパラメーターに課される条件は
　　　　　　　(5)

　　　　　　　(6)

の二式である。またQ1は常に正であるからQ1及びQ２の間に
　　　　　　　　　(7)
という関係が与えられれば、必要十分なことは明らか。

これをN, , に書き直せば、
　　　　　(8)

(8)式が負の二項分布モデルが成立するための必要条件であるが、重複視聴率の実体的な意味から考えて
　　　　　　　　　　　　　(9)

という条件が課させることは当然であるから
　　　　　　　(10)

によってに制約を加えておくことが妥当であろう。

３．が条件式の下限に近づく時の極限分布

　i) メソリンガムモデルの場合
　視聴確率Ｐの分布β(p)の平均及び分散は、


　ここでを一定としておいて→ とすればβ(p)は一点に集中す る。（分散が0になる。）
　従って、視聴確率の視聴者のみが存在することになり、視聴回数の 分布は当然二項分布に収束する。
（これは、f(k)の極限から直接確かめることも可能）

　　ii) 負の二項分布モデルの場合
　延視聴確率の意味でのＧＲＰの分布γ(g)の平均と分散は、

　従ってn, を固定してとする場合、この分布は分散が0に収束し、一点n に集中してしまう。したがって視聴回数の分布は当然ポアッソン分布に収束する。（これもf(k)の極限から直接確かめることができる。）